Il y a une propriété du nombre pi qui me fait douter de son existence, ou plus modestement, qui me fait réaliser que je n’avais pas vraiment compris ce qu’est un nombre. Et cette propriété est : « pi est un nombre normal. » Cela veut dire que la suite des chiffres qui composent pi, et qui commence par 314159 à toutes les propriétés d’une séquence aléatoire infinie, où chaque chiffre apparaît avec la même fréquence 1/10.Une conséquence de cette propriété est que toute suite de chiffres de longueur finie, comme 0123456789, est présente quelque part dans la suite des chiffres qui composent pi. Plus la séquence est longue plus sa fréquence est faible, mais comme pi est une suite infinie, on a la certitude que n’importe quelle suite finie y est présente une infinité de fois. Par exemple, la suite la 10 chiffres 0123456789 est présente en moyenne une fois tous les 10000000000 chiffres, tout comme 0000000000, ou 3141592653.
La même observation est plus choquante quand on l’exprime différemment. Quand on écrit pi = 3.1415, ce n’est qu’une manière concise d’écrire que pi est le nombre qu’on obtient en faisant le calcul 3*1+1*1/10+4*1/(10*10)+1*1/(10*10*10)+5*1/(10*10*10*10). C‘est ce qu’on appelle la base 10. Avec la numération en base 2 des ordinateurs on écrirait pi = 11,0010010… ce qui veut dire pi = 1*2+1+0*1/2+0*1/(2*2)+1*1/(2*2*2)+…Si on voulait utiliser une base plus grande que 10, il nous faut des symboles pour écrire tous les chiffres jusqu’à la valeur base. Pour écrire les nombres en base 27, par exemple, on peut convenir d’utiliser les lettres de notre alphabet et l’espace. On conviendrait 0 = «_», 1 = « A », 2 = « B», etc. jusqu’à 26 = « Z ». En base 27, et avec cette convention, les premières décimales de pi sont données dans le titre de ce post.
La normalité d’un nombre est indépendante de la base dans laquelle il est écrit, ce qui signifie que n’importe quelle suite finie de lettres se trouve quelque part dans pi. Par exemple, on s’attend à trouver le mot « PAPA » une fois toutes les 500000 décimales. Le texte du journal de demain figure aussi quelque part dans pi, de même que toute l’oeuvre de Voltaire. Tout cela y figure même plusieurs fois, une infinité de fois ! Pire, ce n’est pas propre à pi : la plupart des nombres sont normaux. Cela veut dire que la plupart des fois que vous faites un calcul, l’œuvre de Voltaire est cachée dans la réponse.
La situation est analogue à celle du singe imaginé par Emile Borel, qui reproduirait l’œuvre de Molière en tapant au hasard à la machine à écrire. Dans ce cas là, on peut se consoler de ce que cette situation n’est pas vraiment réelle, puisqu’il faudrait au singe un temps plus long que l’age de l’univers pour ne taper qu’un début de tirade. Ce que je trouve très choquant avec la normalité des nombres, c’est que tout y serait dès le début. De manière statique, et depuis toujours. Faut-il en conclure que la plupart des nombres ne sont pas vraiment réels ?
